Działy
Ciągi
Ciąg geometryczny
Trzy wyrazy z niewiadomą

Trzy wyrazy z niewiadomą

Wzorzec zadania z matury podstawowej z matematyki, temat „Ciąg geometryczny”. Poniżej przykładowe zadanie z rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiąż zadanie tego typu

O tym wzorcu

Takie zadanie było w arkuszach CKE: matura 2013, zadanie 12; matura 2014, zadanie 13; matura 2017, zadanie 13; matura 2021, zadanie 13; matura 2023, zadanie 16. Za zadanie jest 1 punkt.

Co trzeba wiedzieć. Trzy liczby a, b, c tworzą ciąg geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy b² = a · c.

Na co uważać. Ciąg geometryczny: b² = a · c (środkowy wyraz to średnia geometryczna). Nie myl z arytmetycznym: 2b = a + c.

Przykładowe zadanie

Trzywyrazowy ciąg (2, 10, x − 2) jest geometryczny. Wtedy

x = 52
x = 4
x = 48
x = 20

Odpowiedź i rozwiązanie

A. x = 52

Skąd biorą się złe odpowiedzi:

B — Odwrócony iloraz — trzeci wyraz to drugi pomnożony przez q = (drugi) : (pierwszy).
C — Błąd znaku przy wyznaczaniu niewiadomej.
D — Potraktowano ciąg jak arytmetyczny (stała różnica zamiast stałego ilorazu).

Rozwiązanie krok po kroku

Warunek ciągu geometrycznego: kwadrat środkowego wyrazu = iloczyn sąsiednich (albo: stały iloraz).
Trzeci wyraz: 10 · 5 = 50, więc x − 2 = 50 i x = 52.