Działy
Wyrażenia, równania i nierówności
Równania wielomianowe, wymierne i iloczynowe
Ile rozwiązań ma równanie iloczynowe

Ile rozwiązań ma równanie iloczynowe

Wzorzec zadania z matury podstawowej z matematyki, temat „Równania wielomianowe, wymierne i iloczynowe”. Poniżej przykładowe zadanie z rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiąż zadanie tego typu

O tym wzorcu

Takie zadanie było w arkuszach CKE: matura 2013, zadanie 16; matura 2017, zadanie 8; matura 2020, zadanie 10; matura 2025, zadanie 7. Za zadanie jest 1 punkt.

Co trzeba wiedzieć. Równanie iloczynowe ma tyle rozwiązań, ile różnych liczb zeruje którykolwiek czynnik.

Na co uważać. x² + c (c > 0) nie ma pierwiastków, (x − a)² daje jedno rozwiązanie, x² − b² — dwa. Liczymy różne rozwiązania.

Przykładowe zadanie

Równanie (x² − 25)(x² − 2) = 0 ma w zbiorze liczb rzeczywistych

dokładnie cztery rozwiązania.
dokładnie trzy rozwiązania.
dokładnie pięć rozwiązań.
dokładnie sześć rozwiązań.

Odpowiedź i rozwiązanie

A. dokładnie cztery rozwiązania.

Skąd biorą się złe odpowiedzi:

B — Za mało — któryś czynnik daje więcej rozwiązań, niż policzono.
C — Któreś rozwiązanie policzono dwa razy albo dopisano nieistniejące.
D — Za dużo — sprawdź każdy czynnik osobno.

Rozwiązanie krok po kroku

x² = 25 ⇒ x = −5 lub x = 5
x² = 2 ⇒ x = −√2 lub x = √2
Różnych rozwiązań: 4 (−5; −√2; √2; 5).