Działy
Dowody
Dowody algebraiczne
Kąty w okręgu — krok dowodu geometrycznego

Kąty w okręgu — krok dowodu geometrycznego

Wzorzec zadania z matury podstawowej z matematyki, temat „Dowody algebraiczne”. Poniżej przykładowe zadanie z rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiąż zadanie tego typu

O tym wzorcu

Takie zadanie było w arkuszach CKE: matura 2014, zadanie 31; matura 2017, zadanie 28; matura 2019, zadanie 29. Za zadanie jest 1 punkt.

Co trzeba wiedzieć. Kąt wpisany ma połowę miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku, a kąty przeciwległe czworokąta wpisanego sumują się do 180°.

Na co uważać. Kąt środkowy jest 2 razy większy od wpisanego na tym samym łuku; kąty przeciwległe w czworokącie wpisanym dają razem 180°.

Przykładowe zadanie

Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku O. Kąt wpisany ACB ma miarę 22° (rysunek). Miara kąta OAB, oznaczonego x, jest równa

44°
68°
22°
11°

Odpowiedź i rozwiązanie

B. 68°

Skąd biorą się złe odpowiedzi:

A — 44° to kąt środkowy AOB, a szukamy kąta OAB przy podstawie trójkąta.
C — Kąt OAB nie jest równy kątowi wpisanemu ACB — liczymy go w trójkącie równoramiennym AOB.
D — Kąt środkowy AOB jest dwa razy większy od wpisanego ACB (44°), a nie dwa razy mniejszy.

Rozwiązanie krok po kroku

Kąt środkowy AOB opiera się na tym samym łuku co kąt wpisany ACB, więc ma miarę 2 · 22° = 44°.
Trójkąt AOB jest równoramienny (OA = OB = r), więc kąty przy podstawie mają po (180° − 44°) : 2 = 68°.