1. Działy
  2. Dowody
  3. Dowody algebraiczne
  4. Nierówność z dwiema zmiennymi — suma kwadratów

Nierówność z dwiema zmiennymi — suma kwadratów

Wzorzec zadania z matury podstawowej z matematyki, temat „Dowody algebraiczne”. Poniżej przykładowe zadanie z rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiąż zadanie tego typu

O tym wzorcu

Takie zadanie było w arkuszach CKE: matura 2015, zadanie 27; matura 2018, zadanie 28; matura 2019, zadanie 28; matura 2020, zadanie 28; matura 2021, zadanie 30; matura 2022, zadanie 31. Za zadanie jest 1 punkt.

Co trzeba wiedzieć. Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc (a − b)2 ≥ 0 i stąd a2 + b2 ≥ 2ab.

Na co uważać. Przenieś wszystko na lewą stronę i szukaj wzorów (a − b)². Suma kwadratów jest nieujemna.

Przykładowe zadanie

Uczeń dowodzi, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność 4a2 + 25b2 ≥ 20ab. Przeniósł wszystko na lewą stronę. Który zapis kończy dowód?
  1. (2a − 5b)2 ≥ 0
  2. (4a − 25b)2 ≥ 0
  3. (2a − 5b)2 + 20ab ≥ 0
  4. (a − b)2 ≥ 0

Odpowiedź i rozwiązanie

A. (2a − 5b)2 ≥ 0

Skąd biorą się złe odpowiedzi:

  • B — Współczynniki w nawiasie to p i q, a nie ich kwadraty.
  • C — Po przeniesieniu wszystkiego na lewą stronę nie zostaje dodatkowy wyraz.
  • D — Współczynniki przy a i b muszą zgadzać się z nierównością.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. 4a2 − 20ab + 25b2 ≥ 0.
  2. To wzór skróconego mnożenia: (2a − 5b)2 ≥ 0 — kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny.
Rozwiąż zadanie tego typu

W trenerze liczby są za każdym razem inne, a wynik liczy się do twojego postępu.

Inne wzorce w tym temacie