Działy
Dowody
Dowody algebraiczne
Suma kolejnych liczb parzystych lub nieparzystych

Suma kolejnych liczb parzystych lub nieparzystych

Wzorzec zadania z matury podstawowej z matematyki, temat „Dowody algebraiczne”. Poniżej przykładowe zadanie z rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiąż zadanie tego typu

O tym wzorcu

Takie zadanie było w arkuszach CKE: matura 2013, zadanie 31; matura 2017, zadanie 27; matura 2026, zadanie 7. Za zadanie jest 1 punkt.

Co trzeba wiedzieć. Kolejne liczby parzyste to 2n, 2n + 2, 2n + 4, a nieparzyste 2n + 1, 2n + 3; po zsumowaniu wyłącz wspólny czynnik.

Na co uważać. Wyrazy z n sumuj osobno od wyrazów wolnych, potem wyłącz liczbę składników: 2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 6(n + 1).

Przykładowe zadanie

Uczeń dowodzi, że suma czterech kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez 4. Najmniejszą z nich zapisał jako 2n + 1, gdzie n jest liczbą całkowitą. Suma (2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7) jest równa

4(2n + 4)
4(2n + 13)
4(2n + 5)
8(n + 4)

Odpowiedź i rozwiązanie

A. 4(2n + 4)

Skąd biorą się złe odpowiedzi:

B — Po wyłączeniu 4 przed nawias trzeba podzielić przez 4 także sumę wyrazów wolnych: 16 : 4 = 4.
C — Zsumuj wszystkie wyrazy wolne: 1 + 3 + 5 + 7 = 16, i dopiero wtedy wyłącz 4.
D — Rozwiń nawias i sprawdź, czy otrzymasz sumę wszystkich składników.

Rozwiązanie krok po kroku

Wyrazy z n: 4 · 2n = 8n. Wyrazy wolne: 1 + 3 + 5 + 7 = 16.
Suma to 8n + 16 = 4(2n + 4).
Wyrażenie 4(2n + 4) jest iloczynem 4 i liczby całkowitej, więc suma jest podzielna przez 4.