Działy
Trygonometria
Trygonometria kąta ostrego
Kąt w układzie współrzędnych

Kąt w układzie współrzędnych

Wzorzec zadania z matury podstawowej z matematyki, temat „Trygonometria kąta ostrego”. Poniżej przykładowe zadanie z rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiąż zadanie tego typu

O tym wzorcu

Takie zadanie było w arkuszach CKE: matura 2015, zadanie 14; matura 2023, zadanie 18. Za zadanie jest 1 punkt.

Co trzeba wiedzieć. Dla punktu (x, y) i r = √(x² + y²) mamy sin α = y : r, cos α = x : r, tg α = y : x.

Na co uważać. Dla P = (x, y): tg α = y/x, sin α = y/r, cos α = x/r, r = √(x² + y²). W II ćwiartce x < 0, więc cos i tg są ujemne.

Przykładowe zadanie

W kartezjańskim układzie współrzędnych zaznaczono kąt α o wierzchołku w punkcie O = (0, 0). Jedno ramię kąta pokrywa się z dodatnią półosią Ox, a drugie przechodzi przez punkt P = (−2, 5). Tangens kąta α jest równy

−52
5√29
−2√29
52

Odpowiedź i rozwiązanie

A. −52

Skąd biorą się złe odpowiedzi:

B — To sin α.
C — To cos α.
D — Zły znak — sprawdź, w której ćwiartce leży punkt.

Rozwiązanie krok po kroku

Dla punktu P = (x, y) na drugim ramieniu: r = √x² + y² = √29, sin α = y : r, cos α = x : r, tg α = y : x.
tg α = 5 : (−2) = −52.