Prosta równoległa przez punkt

Wzorzec zadania z matury podstawowej z matematyki, temat „Proste równoległe i prostopadłe”. Poniżej przykładowe zadanie z rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiąż zadanie tego typu

O tym wzorcu

Takie zadanie było w arkuszach CKE: matura 2011, zadanie 18; matura 2014, zadanie 8; matura 2023, zadanie 24; matura 2026, zadanie 26. Za zadanie jest 1 punkt.

Co trzeba wiedzieć. Prosta równoległa ma ten sam współczynnik a, a b wyliczysz, podstawiając współrzędne punktu do y = ax + b.

Na co uważać. Wyraz wolny liczymy z punktu: b = y − a·x. Druga współrzędna punktu jest wyrazem wolnym tylko wtedy, gdy punkt leży na osi Oy.

Przykładowe zadanie

Prosta l jest równoległa do prostej k o równaniu y = 2x i przechodzi przez punkt (2, −1). Prosta l przecina oś Oy w punkcie

(0, −1)
(0, −5)
(0, 0)
(0, 3)

Odpowiedź i rozwiązanie

B. (0, −5)

Skąd biorą się złe odpowiedzi:

A — Wyraz wolny to nie druga współrzędna punktu — tak jest tylko wtedy, gdy punkt leży na osi Oy.
C — Ta prosta przechodzi przez punkt, ale jest prostopadła do danej, a nie równoległa.
D — Zmieniony znak współczynnika kierunkowego — proste równoległe mają ten sam współczynnik.

Rozwiązanie krok po kroku

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc szukana prosta to y = 2x + b.
Punkt (2, −1) leży na tej prostej: −1 = 2 · 2 + b, czyli −1 = 4 + b.
b = −1 − 4 = −5.
Prosta przecina oś Oy w punkcie (0, b) = (0, −5).